MODEL PEMBELAJARAN

MODEL-MODEL PEMBELAJARAN

Brady (1985) menawarkan lima model dan metoda pembelajaran (1) Model eksposisi; (2) Model behavioristik; (3) Model Kognitif, (4) Model interaksional, dan (5) Model transaksional. Apabila kelima model-model di atas diletakkan pada garis kontinum, dari pendekatan yang berpusat kepada guru di satu sisi, dan pendekatan yang berpusat pada siswa di sisi lain, maka kelimanya berada di antara titik-titik ekstrim ujung-ujungnya. Adalah tidak sederhana untuk mengatakan bahwa suatu pendekatan lebih mudah daripada pendekatan lain. Seperti telah dikatakan oleh Nisbet (1985) bahwa ´Tak ada cara tunggal yang tepat untuk belajar dan tak ada cara terbaik untuk mengajar” (h. 43). Namun demikian seorang guru dapat menerapkan salah satu pendekatan yang cocok dengan mempertimbangkan kondisi siswa. Dalam pendekatan konstruktivis siswa menjadi pusat perhatian. Siswa diharapkan mengkonstruksi pengetahuannya menurut diri mereka sendiri. Karenanya peranan guru cenderung sebagai fasilitator ketimbang penyedia informasi (Cain, Kenney, & Schloemer, 1994, h. 93).
Menurut Burton (1993) pandangan tradisional memandang matematika sebagai pengetahuan dan keterampilan yang terdefinisi secara ketat (a) belajar melalui transmisi, (b) belajar dengan sikap yang compliant (selalu mengalah), (c) menilai siswa melalui tes menggunakan kertas dan pensil tanpa perlu terlihat. Sebaliknya pandangan konstruktivisme menolak pembelajaran yang dilakukan oleh pandangan tradisional dan meletakkan tanggung jawab belajar dari guru kepada siswa. Lebih jauh Burton (1993) mengusulkan bahwa “tanggung jawab guru dalam proses belajar adalah untuk:
 menstimulasi dan memotivasi siswa.
 menyediakan pengalaman untuk menumbuhkan pemahaman
 mendiagnosa dan mengatasi kesulitan siswa
 mengevaluasi”

Kamii (1990) menambahkan bahwa “kenyataan anak mengkonstruksi pengetahuan logika matematikanya sendiri tidak lantas menyebabkan bahwa peranan guru hanya duduk dan tidak mengerjakan apa-apa, sebaliknya peranan guru menjadi tidak langsung dan lebih sulit dibandingkan dengan kelas tradisional.

Memperhatikan uraian di atas, maka pembelajaran matematika dengan menggunakan pendekatan konstruktivis tujuannya dapat dirumuskan sebagai berikut:
seorang guru matematika hendaknya mempromosikan dan mendorong pengembangan setiap individu di dalam kelas untuk menguatkan konstruksi matematika, untuk pengajuan pertanyaan (posing), pengkonstruksian, pengeksplorasian, pemecahan, dan pembenaran masalah-masalah matematika serta konsep-konsep matematika. Guru juga diharapkan mencoba berusaha mengembangkan kemampuan siswa untuk merefleksikan dan mengevaluasi kualitas konstruksi mereka (para siswa).
Salah satu contoh bagaimana memanfaatkan lingkungan mengkonstruksi pemahaman matematika.

Baiklah anda dapat melihat bagaimana bagaimana anda membuat aturan (rumus) menyusun sebuah table untuk membantu menggambar grafik dari sebuah cerita. Empat konsep besar “Cerita”, “Tabel” , “Grafik” dan “Rumus” akan berkaitan satu dengan lainnya secara erat dan akan saling memperkuat.

Ajaklah para siswa untuk melihat tumpukan “keranjang sampah” yang masih dalam pajangan di sebuah supermarket.

















Coba kalian perhatikan secara seksama berapa ketinggian-ketinggian tumpukan keranjang sampah tersebut. (disajikan dalam bentuk dialog)
Guru: Kalau keranjangnya 1 maka tingginya 32 cm. Berapa tingginya kalau keranjangnya 2.
Siswa 1: 41 cm Bu
Guru: Mengapa?
Siswa1: Karena 32+9 = 41 cm
Guru : Kalau keranjangnya ada 3.
Siswa2: Tinginya 41 + 9 = 50 cm bu.
Guru: Dapatkah kamu mencari berapa ketinggian tumpukan keranjang sampah itu apabila ada 105 keranjang?
Siswa 3: Saya Bu. Saya akan berfikir “Karena ada 105 keranjang maka 105 x 9 = 945 kemudian ditambah 32 cm, sehingga tingginya 977 cm.
Guru: Betulkah itu? Bagaimana yang lainnya.
Siswa4: Saya kira salah Bu. Saya berfikir sedikit berbeda. Menurut saya yang tingginya 32 ada 1 sedangkan yang tingginya 9 cm ada 104, karenanya tingi tumpukan 105 keranjang sampah adalah 32 + 9  104 = 968 cm.
Ternyata dengan menggunakan bantuan susunan keranjang sampah siswa dapat membantu menghitung berapa tinggi 105 keranjang samah yang ditumpuk dengan aturan seperti itu.
Sebenarnya siswa dapat melakukan pengamatan lebih lanjut dengan membuat table berikut ini.
Banyak Keranjang (B) 1 2 3 4 5 6 7 … B
Tinggi (T) 32 41 50 59 68 77 86 … …
Sebenarnya sih bisa saja mencari ketinggian tumpukan keranjang sampah dengan menghitung satu persatu. Namun akan menjadi tidak efektif kalau banyaknya keranjang banyak sekali, misalkan sampai ribuan.
Anda dapat menggunakan bantuan hubungan berikut ini.

T : 1 32
T : 2 41
T : 3 50
T : 4 59
T : 5 68
T : 6 77
T : 7 86
……………………
……………………
T : B …

Perhatikan keteraturan di atas. Masih mungkinkan anda dapat mengubah menjadi angka-angka yang lebih mudah dibaca?

Coba anda nyatakan bilangan di ujung-ujung tanda panah sebagai penjumlahan 32 dengan suatu kelipatan 9.
T : 1 32
T : 2 32 + 9
T : 3 32 + 18
T : 4 32 + 27
T : 5 32 + 36
T : 6 32 + 45
T : 7 32 + 54
……………………
……………………
……………………
T : B 32 + …

Semakin tampak “lebih Indah” apa yang telah anda ubah itu.
Usaha yang sedang anda lakukan adalah usaha “membangun rumus” atau aturan umum yang menghubungkan antara banyaknya keranjang dengan ketinggiannya. Namun masih belum nampak angka-angka yang dapat menghubungkan banyaknya keranjang B dengan ketinggian T.
Namun segera anak tampak hubungan itu kalau siswa dapat mengubah kelipatan 9 sebagai 1x 9, 2 x 9, 3 x 9, dst.

T : 1 32
T : 2 32 + 9 = 32 + 1  9
T : 3 32 + 18 = 32 + 2  9
T : 4 32 + 27= 32 + 3  9
T : 5 32 + 36= 32 + 4  9
T : 6 32 + 45= 32 + 5  9
T : 7 32 + 54= 32 + 6  9 [perhatikan baris ini, juga baris-baris atasnya]



T : 7 32 + 54= 32 + (7-1)  9
……………………
……………………
……………………
Oleh karena itu untuk B suatu bilangan bulat positif, maka
T : B 32 + (B – 1)  9
Dengan kata lain banyak keranjang B memiliki ketinggian T(B) = 32 + (B-1) 9
Bandingkan dengan fungsi dengan persamaan f(x) = 32 + (x-1)  9

Ini adalah rumus untuk banyak keranjang B yang dapat dituliskan dalam bentuk fungsi

T(n) = 9n + 23 atau T(n) = 32 + 9(n-1)

Bagaimana menggambarkan grafik untuk cerita di atas?

















Dengan mealui proses seperti di atas para siswa dapat membuat hubungan antara “Cerita”, yiatu cerita tentang Tumpukan keranjang, “Tabel” yaitu pencatatan terhadap hasil pengamatan, “Grafik” serta Rumus yang erkait seperti pada diagram berikut ini.


















Contoh 3
Jalan-jalan yang ada pada suatu kota dapat digambarkan seperti kumpulan persegi sebagaimana nampak pada gambar di bawah ini. Dani mengendarai sepeda motor dari station kereta (S) ke sebuah terminal bus (T). Suatu hari dia mengendarai motornya menuju lokasi pertokoan (P) ke arah timur dan dilanjutkan ke arah utara menuju terminal. Agar tidak bosan, Dani selalu mengubah-ubah rute perjalanannya setiap hari dengan senantiasa mempertimbangkan jumlah blok minimal yang harus dilalui. Berapa jumlah kemungkinan rute yang bisa dilalui dari S ke T?




T














Misalkan dalam sebuah kerajaan tersimpan harta karun sebagai persediaan untuk mengatasi keadaan paling krisis yang mungkin dihadapi oleh Negara tersebut. Harta karun ini tersimpan di dalam sebuah benteng penyimpanan yang harus dijaga oleh sejumlah pengawal kerajaan (sekuriti). Untuk memelihara bahwa penjaganya selalu tetap dalam jumlah yang memadai untuk penjagaan kamanan harta karun tersebut, maka dipasang sejenis CCTV, sehingga pengawas bodyguard (sekuriti) selalu mengetahui bahwa pada tepi-tepi benteng penyimpanan harta karun senantiasa terpelihara sejumlah 9 orang yang nampak pada sisi-sisinya. Perhatikan Gambar 3 di bawah ini.


Suatu ketika empat (4) di antara penjaga-penjaga tersebut dipanggil pulang oleh istri-istrinya masing-masing. Namun banyak penjaga di sisi-sisinya dikehendaki tetap berjumlah 9 orang. Bagaimanakah susunan penjaga penjaga (para sekuriti tersebut) sekarang?
Nah dalam situasi yang lain keempat penjaga yang dipanggil istrinya tadi masing-masing membawa satu teman sekuriti, sehingga secara keseluruhan datang 8 penjaga lagi. Sekarang bagaimana susunannya supaya di setiap sisinya jumlah penjaganya adalah sebanyak 9 orang.
Cerita di atas dapat direpresentasikan sebagai berikut:











Sekarang datang kembali sebanyak 8 orang, namun harus dipertahankan bahwa banyak setiap barisnya harus nampak 9 orang sehingga susunannya menjadi.








Persoalan aplikasi seperti di atas dapat ditawarkan kepada siswa agar siswa mencari model matematikanya dan mencari penyelesaiaannya serta memberikan interpretasi terhadap permasalahan tersebut. Guru memberikan panduan bagaimana pemodelan dan penyelesaiannya.
Situasi awal
Pada mulanya bahwa setiap tepi harus tampak 9 orang dan sehingga kita dapat katakan bahwa 4 pojok + 4 tengah berjumlah 24 orang (lihat Gambar 4) sehingga kita tuliskan 4p+4t = 24.........(1)
Kemudian situasi satu tepi yang ikehendaki harus berjumlah 9 orang kita katakan sebagai 2 pojok ditambah 1 tengah, sehingga kita dapat tuliskan sebagai 2p + 1t = 9.............(2)
Dari persamaan (1) dan (2) kita dapatkan sebuah sistem persamaan dengan dua variabel

4p + 4t = 24
2p + t =9
Dengan cara substitusi (persamaan (2) ke dalam persamaan (1) diperoleh bahwa
4p + 4(9-2p) = 24 == 4p + 36 – 8p = 24 == 4p = 12 sehingga p = 3 dan ini menyebabkan nilai t=3 juga. Keadaan ini dapat dilihat pada situasi Gambar 3.
Saat empat pengawal pergi
Selanjutnya karena ada 4 orang dipanggil istrinya sehingga harus pulang, situasi ini mengatakan bahwa 4p + 4t = 20..... (3). Tetapi harus dipertahankan bahwa di setiap tepinya harus dijaga oleh 9 orang karena diawasi oleh komandan utamanya melalui cctv. Hal ini akan bermakna bahwa 2p + 1t = 9 ...... (4). Selanjutnya, dengan menggunakan dua persamaan (3) dan (4) kita selesaikan 4p + 4t = 20 dan 4p + 4(9-2p) = 20 atau 4p + 36 – 8p = 20
Karenanya 4p = 16 atau p =4. Hal ini mengatakan bahwa di pojok-pojoknya haruslah 4 orang dan di tengahnya haruslah 1 orang karena nilai t yang memenuhi adalah t=1 (siatuasinya tampak pada Gambar 5).
Saat 8 orang pengawal datang kembali bertugas
Ketika empat pengawal datang bersama dengan empat pengawal lainnya (sehingga ada 8 orang pengawal, maka kita dapatkan bahwa 4p+4t=28.....(5). Namun kita harus memper-tahankan bahwa setiap sisinya dijaga oleh 9 orang sehingga kita punya 2p+t=9 .....(6).
Penyelesaian persamaan-persamaan (5) dan (6) akan menghasilkan p = 2 dan t = 5, akibatnya susunan penjaga tampak seperti pada Gambar 6.
Sistem persamaan linear memberikan siswa suatu inspirasi bahwa seperti apa sulitnya permasalahan kalau dikembalikan kepada pemodelan system persamaan linear menjadi mudah untuk diselesaikannya.










“Berapakah banyaknya persegipanjang yang terdapat dalam petak 6 x 6 (termasuk persegi) dan persegi panjang yang sisi-sisinya berada pada garis-garis dalam?





Salah satu persegi panjang yang dapat diidentifikasi adalah persegi panjang pada gambar berikut ini dengan ukuran 3 x 2.






Tentu permasalahan seperti ini bukan persoalan matematika yang sederhana yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus dalam waktu yang sangat singkat.
Siswa hendaknya diajak untuk melihat pengetahuan yang mereka miliki sebelumnya.
Misalkan bagaimana kalau persegi itu berukuran 2 x 2 ada berapa persegipanjang yang erjadi (termasuk persegi).



Untuk 2 x 2 ini kalian (anda) dengan mudah dapat melihat bahwa persegipanjang yang terbentuk adalah:



Yang berukuran 1 x 1 ada 4 buah
Yang berukuran 1 x 2 ada 4 buah
Yang berukuran 2 x 2 ada 1 buah
Jadi dapat kita katakan bahwa untuk persegi 2 x 2 terdapat 9 buah persegi panjang.
Bagaimanakah kalau persegi itu berukuran 3 x 3



Dengan analisis sederhana kita dapat membuat rincian sebagai betrikut:
(a) yang berukuran 1 x 1 ada 9 buah
(b) yang berukuran 2 x 2 ada 4 buah
(c) yang berukuran 3 x 3 ada 1 buah
(d) yang berukuran 1 x 2 ada 12 buah
(e) yang berukuran 1 x 3 ada 6 buah
(f) yang berukuran 2 x 3 ada 4 buah
Sehingga secara keseluruhan ada 36 buah persegi panjang.
Dengan berpola seperti itu, kita analisis untuk persegi 4 x 4
(a) yang berukuran 1 x 1 ada 16 buah
(b) yang berukuran 2 x 2 ada 9 buah
(c) yang berukuran 3 x 3 ada 4 buah
(d) Yang berukuran 4 x 4 ada 1 buah
(e) yang berukuran 1 x 2 ada 24 buah
(f) yang berukuran 1 x 3 ada 16 buah
(g) yang berukuran 1 x 4 ada 8 buah
(h) Yang berukuran 2 x 3 ada 12 buah
(i) Yang berukuran 2 x 4 ada 6 buah
(j) Yang berukuran 3 x 4 ada 4 buah
Sehingga secara keseluruhan teradap sebanyak 100 buah persegi panjang.
Dengan menggunakan keterangan terdahulu siswa diminta untuk memberikan dugaan (conjecture) banyaknya persegi panjang terjadi dari sebuah petak 5 x 5. Siswa diminta untuk menduga berapakah banyaknya persei panjang yang terbentuk.
Bentuk dugaan (conjecture) yang dibuat siswa mungkin berbunyi seperti ini. “Untuk persegi 5 x 5 menurut dugaan saya akan terdapat sebanyak 225 persegi panjang”
Karena untuk
1 x 1 ada 1 buah
2 x 2 ada 9 buah
3 x 3 ada 36 buah
4 x 4 ada 100 buah
5 x 5 ada 225 buah
6 x 6 ada 441 buah





(a) yang berukuran 1 x 1 ada 25 buah
(b) yang berukuran 2 x 2 ada 16 buah
(c) yang berukuran 3 x 3 ada 9 buah
(d) Yang berukuran 4 x 4 ada 4 buah
(e) Yang berukuran 5 x 5 ada 1 buah
(f) yang berukuran 1 x 2 ada 40 buah
(g) yang berukuran 1 x 3 ada 30 buah
(h) yang berukuran 1 x 4 ada 20 buah
(i) Yang berukuran 1 x 5 ada 10 buah
(j) Yang berukuran 2 x 3 ada 24 buah
(k) Yang berukuran 2 x 4 ada 16 buah
(l) Yang berukuran 2 x 5 ada 8 buah
(m) Yang berukuran 3 x 4 ada 12 buah
(n) Yang berukuran 3 x 5 ada 6 buah
(o) Yang berukuran 4 x 5 ada 4 buah
Secara keseluruhan banyaknya persegi panjang di atas adalah 225 buah. Dengan demikian konjektur yang dibuat terbukti benar.
Konjektur yang kedua diserahkan kepada siswa sebagai aktivitas matematika problem solving.

Problem solving lain yang dapat siswa selidiki adalah banyaknya persegi yang terlalui oleh garis diagonal apabila persegi panjang tersebut berukuran m x n dengan m dan n bilangan asli.
Misalkan:
Persegipanjang dengan ukuran m = 12 dan n = 4





Coba kalian selidiki, berapakah banyaknya persegi satuan yang terlalui oleh garis diagonal.
Misalkan dengan membuat beberapa contoh dan menyalinnya ke dalam tabel sebagai berikut:
m n mn Banyaknya persegi yang terlalui Keterangan
3 2 6 4
4 2 8 4
5 2 7 6
6 2
6 3
7 3
7 4
8 3



a. Apa yang dapat anda simpulkan untuk memperoleh generalisasi tentang banyak persegi yang terlalui oleh persegipanjang berukuran 9 x 5
b. Bagaimana anda dapat menyimpulkan keadaan tersebut



c. Dapatkan anda menjelaskan terhadap kesimpulan yang anda buat?

















P: Pak Supir (Supir Taksi), saya mau menggunakan jasa Taksi anda, bolehkan saya mengetahui tarif yang anda tawarkan?
ST: Tentu saja. Ibu dapat menggunakan mula-mula dikenakan tariff Rp 6000 kemudian setiap kilometer pada argo akan bertambah sebesar Rp 1800
P: Apakah saya boleh untuk memakai taksi anda untuk jarak 20 km?
ST: Tentu saja boleh.
Siswa dapat membantu Ibu penumpang tadi dengan membuat daftar sebagai berikut:
Jarak (km) 0 1 2 3 4 … 20
Ongkos (Rp) 6000 7800 … … … … …

Dapatkah kalian (kepada siswa) membuat aturan umum yang mengkaitkan antara jarak (J) dan biaya (O) yang harus dikeluarkan penumpang. Gunakan representasi simbol untuk mengungkapkan pembiayaan taksi dengan O sebagai ongkos taksi dan J sebagai jarak tempuh taksi. Setelah siswa menyatakan representasi matematika berbetuk simbol, mungkin berbentuk persamaan, alternatifnya siswa membuat representasi grafik, sebagai model pengaitan antara jarak tempuh taksi dengan biaya taksi. Seorang siswa mencoba memberikan penjelasan tabel di atas untuk membangun representasi simbol sebagai berikut:
Saya memisalkan ongkos taksi sebagai O (kata seorang siswa) dan jarak taksi sebagai J. Kemudian saya membuat pengaitan bahwa
Ongkos(0) = 6000
Ongkos (1) = 7800
Ongkos (2) = 9600
Namun untuk keperluan praktis saya membuatnya menjadi bentuk:
O : 0  6000
O : 1  7800
O : 2  9600
O : 3  11400
O : 4  13200
………………………………………………..
……………………………………………….
………………………………………………..
O : J  …..
Pada hubungan di atas belum tampak kaitan antara jaraknya dengan biayanya. Namun siswa dapat memodifikasi representasi di atas menjadi:
O : 0  6000
O : 1  6000+ 1800
O : 2  6000+ 3600
O : 3  6000 + 5400
O : 4  6000 + 7200
………………………………………………..
……………………………………………….
………………………………………………..
O : J  6000 + … x 1800
Sekarang secara lebih mudah siswa melihat bilangan-bilangan penambahnya yang sudah berpola. Bilangan-bilangan penambahnya tak lain adalah Rp 1800 (sebagai konsekuensi bahwa penambahan biaya setiap kilometer adalah Rp 1800). Sedangkan biaya Rp 6000 adalah biaya awal. Akibatnya kita dapat tuliskan O:2 sebagai
O : 2  6000+ 2 x 1800
O : 3  6000+ 3 x 1800
Sehingga O: J  6000+ J x 1800
Siswa dapat menuliskannya sebagai O(J) = 6000 + 1800J atau
O(J) = 1800J + 6000
Bandingkan dengan representasi fungsi f(x) = ax + b
f(x) = ax + b

O (J) = 1800 J + 6000
Suatu representasi fungsi Jarak terhadap ongkos taksi.
Kemampuan siswa membuat representasi dari suatu cerita menggunakan tabel, menggunakan simbol untuk pemodelan dan menggunakan grafik dapat dirumuskan dalam hubungan keterkaitan sebagai berikut:






(diadaptasi dari Turmudi, 2008).










Dalam kehidupan sehari-hari seringkali anda menemukan tumpukan-tumpukan seperti tampak pada gambar di bawah ini. Andaikan lingkaran-lingkaran ini berjari-jari seragam 4 cm. Hitung tinggi dari titik tertinggi P dari alas AB








Kita mulai dari pemikiran sederhana, bahwa jika lingkaran itu ada satu tingkat saja, maka jarak dari titik P ke alas AB adalah 2R ( dengan R adalah jari-jari lingkaran).





Untuk gambar 1 (sebuah) lingkaran seperti di atas tidaklah terlalu sulit untuk disimpulkan, sebab jarak titik tertinggi P terhadap AB adalah 2R, namun untuk titik P pada gambar di bawah ini perlu pemikiran yang serius dari siswa.







Selanjutnya perhatikan diagram berikut ini.












Cara berfikir seperti di atas digunakan untuk menentukan tinggi titik tertinggi P dari alas AB. Coba pembaca (para siswa) cari berapakah jarak titik tertinggi P terhadap alas AB pada gambar di bawah ini.






Dengan menggunakan dasar pemikiran tersebut di atas, siswa akan mengambil sebuah keputusan mana yang memerlukan tempat lebih banyak, susunan seperti pada Gambar xx(a) atau Gambar xx(b), atau sebenarnya dua gambar ini memerlukan tempat yang sama luas?





Berikan penjelasan sedemikian sehingga teman-teman di kelas memperoleh rasional yang benar dan memuaskan.